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German 1 = 0,999...?

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old 1 = 0,999...?

Nova
User Off Offline

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Da es nicht zum ursprünglichen Thema passt, allerdings dennoch mehrere Leute darüber diskutierten und das somit nicht per Nachricht geht eröffne ich kurzerhand diesen Thread.

Das Thema: Ist 0,(Periode 9) = 1?
Um es einfacher zu machen wird in diesem Thema einfach 0,999 geschrieben wenn man eine Periode meint.

Na dann, los gehts:


humer has written
@Nova
Dicker hat schon recht. Nochmal kurz:
1/9=0.11111 Periode | *9
9/9=1=0.9999 Periode

Also ist 0.9 per = 1
Ich glaub es irgendwie immer noch nicht.
Leider gibt es nur noch eine Möglichkeit das 0,999 != 1 ist:
9/9 != 1
Aber daran glaube ich selbst nicht...

old Re: 1 = 0,999...?

Diego
User Off Offline

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Aufgerundet ist 0,999 natürlich 1. Aber selber ist 0,999 nicht 1, genauso wenig wie 0,00000001 nicht 0 ist.

old Re: 1 = 0,999...?

Nova
User Off Offline

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Um etwas klar zustellen:
0,9999999 != 0,999...

Eine Periode läuft unendlich weiter, wobei 0,9999999 allerdings nur eine begrenzte Anzahl an weiterführenden Stellen hat.

Das nur so mal am Rande.:)

Ich erkläre mir es so:
0,999... fehlt einfach noch 0,0...1 um 1 zu werden.
Mit 0,0...1 meine ich 0,(Periode 0)1. Also 0,0000...0001.

old Re: 1 = 0,999...?

A Mad Bro
User Off Offline

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leider geht das nicht, da eine periodische zahl unendlich lang weitergeht und es danach keine andere zahl gibt.

wenn man jetzt 0,000...0001 schreiben würde, müsste mal alle nullen aufschreiben.

old Re: 1 = 0,999...?

ohaz
User Off Offline

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genau und DAS ist der springende Punkt.
Sagen wir es so.
1 = x und 0,*periode*9 = y.
Mache nun einmal x-y
Da gäbe es nun eben 2 Möglichkeiten als ergebnis:
0 oder 0,*periode*0*ende-der-periode*1
leider gibt es KEINE zahl nachder nach einer Periode noch eine andere Zahl kommen kann. (da periode = unendliche Zahlenfolge)
Versuch mal ein 0,*periode*0*ende-der-periode*1 aufzuschreiben! ich sag dir, das dauert bis zu deinem Lebensende und länger

old Re: 1 = 0,999...?

DarthPay
User Off Offline

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ich würd sagen nein, weil das wirklich andere zahlen sind (1 und 0,periode9). Es sind einfach unterschiedliche zahlen

old Re: 1 = 0,999...?

jeepohahyo
User Off Offline

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Lol, irgendwie merkwürdig, wieviele Leute damit Probleme haben

Also, nochmal mein Beweis aus dem andern Topic:

Ich selber has written
Angenommen, x sei 0,999... (also Null Komma Periode Neun, ich krieg den Strich net hin)
0,999... hat unendlich viele Nachkommastellen. Wir wissen: Unendlich - n = Unendlich, wenn n reell ist.
Ich kann das Komma also beliebig weit nach rechts verschieben, dann kriege ich eine Zahl mit n Neunen vor dem Komma und immer noch unendlich vielen Neunen nach dem Komma.

x = 0,999... | *10 (Komma eine Stelle nach rechts verschieben)
10x = 9,999... | -x
9x = 9,999... - x | x = 0,999... (s.o.)
9x = 9,999... - 0,999...
9x = 9 | :9
x = 1

=> x = 0,999... oder x = 1 (man beachte, dass x in beiden Fällen die SELBE Zahl ist)
q.e.d.


Wenn ihr sagt, dass diese Rechnung falsch ist, müsst ihr nachweisen, wo ich nicht richtig äquivalent umgeformt hab.
Nochmal mit ein bisschen anspruchsvollerer Mathematik (nun komm ich nicht mehr ohne LaTeX weiter ^^)

Quote
Die Zahl 0,999... ist nichts anderes als die Folge IMG:https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\sum_{i=1}^\infty~{9*\frac{1}{10^i}}


Man muss nun den Grenzwert dieser Folge bestimmen. Als einfaches, wenn auch ungenaues Verfahren "baut" man diese Folge langsam "auf"

Bis i=1: 0,9
Bis i=2: 0,99
Bis i=3 : 0,999
Bis i=4: 0,9999
usw.

Man sieht, dass sich dieser Wert immer näher der 1 annähert, und dass wir immer unendlich viele Werte dieser Folge im Intervall [1-e; 1] haben, egal wie klein wir e wählen.
Das heißt, diese unendliche Reihe besitzt den Grenzwert 1. Da aber natürlich per Definition die Zahl 0,999... auch den Grenzwert dieser Folge beschreibt, ist diese Zahl notgedrungen auch gleich 1.


Für den Grenzwert: Man kann eine Reihe gar nicht ins unendliche entwickeln. Die Unendlichkeit ist nämlich gar keinn richtige/reelle Zahl. Sie befindet sich außerhalb der Zahlengerade, und man nennt sie auch hyperreell, weil sie größer als jede reelle Zahl ist.

Daher sagt man auch bei 0,999...: Wenn ich die Anzahl der Nachkommastellen reell lasse, dann komme ich immer näher an die 1 heran. Also sage ich, wenn ich unendlich viele Stellen habe, dann ist es genau gleich 1.

Da darf man auch nicht mit "logisch" oder "unlogisch" argumentieren, es gibt nämlich keine Unendlichkeit in der Wirklichkeit. Unendlichkeit ist nur ein Sprachkonstrukt!

Wie ich finde, wird das ganze Problem hier gar keins mehr, wenn man die Unendlichkeit richtig verstanden hat.

old Re: 1 = 0,999...?

Flying Lizard
User Off Offline

Quote
Dicker has written
Da darf man auch nicht mit "logisch" oder "unlogisch" argumentieren, es gibt nämlich keine Unendlichkeit in der Wirklichkeit. Unendlichkeit ist nur ein Sprachkonstrukt!

Wie ich finde, wird das ganze Problem hier gar keins mehr, wenn man die Unendlichkeit richtig verstanden hat.


Meiner Meinung nach ausgemachter Blödsinn, da wir Menschen die Unendlichkeit einfach nicht "richtig verstehen" können. Was du da sagst ist eigentlich nur ein weiteres Beispiel für etwas was wir Menschen schon seid Jahrtausenden falsch machen. Was wir nicht verstehen wird verleugnet oder verteufelt.

Zu deiner (1.) Rechnung:
Ich denke der Fehler liegt in diesen beiden Zeilen.

10x = 9,999... | -x
9x = 9,999...

Wenn x=0.999... dann würde man unten 9 erhalten, wenn x=1 dann 8,999... (wobei mein Taschenrechner auch bei 9.999999999999-x=0.9999999999999 8.999999999999 rausbringt... ich glaube da macht er einfach nen Fehler)

Meine Argumentation ist:

2-2=0 |*unendlich
--->2*unendlich=unendlich
--->0*unendlich=0
unendlich-unendlich=0

old Re: 1 = 0,999...?

jeepohahyo
User Off Offline

Quote
Ja ne is klar, die Mathematik verteufelt gar nichts, immerhin ist es Mathematik und nicht Philosophie.
Mit Mathematik muss man nur gut arbeiten können, die hat gar keinen welterklärenden Anspruch, den dichtest du ihr im Moment nur zu

Quote
Ich denke der Fehler liegt in diesen beiden Zeilen.

10x = 9,999... | -x
9x = 9,999...

Sorry, die Subtraktion einer Variablen auf beiden Seiten erhält die Äquivalenz, daran kann es also nicht liegen

Quote
Meine Argumentation ist:

2-2=0 |*unendlich

Du behandelst die Unendlichkeit so als wäre sie eine normale reelle Zahl, das kannst du aber knicken, da sie nun mal außerhalb der Zahlengeraden liegt.

old Re: 1 = 0,999...?

Flying Lizard
User Off Offline

Quote
Dicker has written
Quote
Ich denke der Fehler liegt in diesen beiden Zeilen.

10x = 9,999... | -x
9x = 9,999...

Sorry, die Subtraktion einer Variablen auf beiden Seiten erhält die Äquivalenz, daran kann es also nicht liegen
Quote
Das mag sein, ist aber trotzdem verkehrt da sich die Zahl auf der rechten Seite trotzdem ändert

x=2 |*10
10x=20 |-x
Jetzt kommt deine Argumentation
9x=20 aber 9*2=18
es wäre also eigentlich
9x=18

Dicker has written
Quote
Meine Argumentation ist:

2-2=0 |*unendlich

Du behandelst die Unendlichkeit so als wäre sie eine normale reelle Zahl, das kannst du aber knicken, da sie nun mal außerhalb der Zahlengeraden liegt.

das mag ja sein, aber
0*Universum= garnichts (salop gesagt, und jetzt fangt mir nicht mit der nicht-unendlichkeit des Universums an)
jegwede Zahl *0 wird 0, das trifft auf alle zu:
reell, irrational, periodisch, unendlich...

old Re: 1 = 0,999...?

humer
User Off Offline

Quote
ich dachte meine verkürzte Rechnung sollte allen klar geworden sein. Einfachste Mathematik ohne irgendwelche Additivitäten oder Grenzwerte zu gebrauchen.

Also nochmal:
1
2
3
(1/9) = 0,1111 per | *9
<=> (9/9) = 0.9999 per
<=>	     1  = 0,9999 per
Also wenn man die Grundschule hinter sich gebracht hat, sollte man diese Rechnung nachvollziehen können.

Edit/
Eyh wat macht denn der Smiley da???

old Re: 1 = 0,999...?

Flying Lizard
User Off Offline

Quote
humer has written
ich dachte meine verkürzte Rechnung sollte allen klar geworden sein. Einfachste Mathematik ohne irgendwelche Additivitäten oder Grenzwerte zu gebrauchen.

Also nochmal:

     (1/9) = 0,1111 per | *9
<=> (9/9) = 0.9999 per
<=>      1 = 0,9999 per

Also wenn man die Grundschule hinter sich gebracht hat, sollte man diese Rechnung nachvollziehen können.

Edit/
Eyh wat macht denn der Smiley da???


Hm Ansichtsache. Meiner Meinung nach ist das insofern falsch das (achtung gedankenkonstrukt!) nach 0.1111... irgendwann eine Zahl folgt die, wenn man sie mit 9 multipliziert, eine nicht-periodische Zahl ergibt.
Ich hab zwar begriffen was ich meine, kann es aber schlecht in Worte fassen
aus dem was ich meine ergibt sich jedenfalls:
1:3=0.333... |*3
1=0.333... *3

EDIT:
Ich denke dass meins besser ist weil ich reine Äquivalenzumformung verwende. Ich verschiebe nur die 3 von links nach rechts.

EDIT2:
Ach verammt, ich habe grade gemerkt dass das kein Beweis ist weil man sich immernoch darüber streiten kann was 0.333.. *3 ist
Ich meine jedenfalls dass sich 1 ergibt.

old Re: 1 = 0,999...?

humer
User Off Offline

Quote
Und wo is da jetzt der Unterschied zu meiner Rechnung?
Du bekommst doch das gleiche Ergebnis

1 = 0,9999 per

In der Mathematik ist es halt so vorgeschrieben, da kannst du nichts ändern. Viele glauben dass 0,999 per eigentlich um (1/unendlich) kleiner sein muss als 1 aber in der Mathematik ist (1/unendlich) als 0 definiert. Deswegen sind 1 und 0,9999 per schlichtweg die gleiche Zahl.

Edit/
0,3333 per * 3 = 0,9999 per
edited 1×, last 12.10.08 01:57:21 pm

old Re: 1 = 0,999...?

jeepohahyo
User Off Offline

Quote
Bei deinem können wir aber zeigen, dass man jede Nachkommastelle für sich sehen kann (als reihe) und dass ich die dann alle einzeln mit 3 malnehmen kann (und muss), sodass ich unendlich viele Neunen nach den Komma hab.

Unendlich heißt "ohne Ende" und wo kein Ende ist kann man nicht noch etwas anhängen.

Nach einer unendlichen Zahl von Dreien (oder Neunen oder was auch immer) kann nichts anderes mehr kommen. Wenn etwas anderes kommen würde, hätte man nicht unendlich viele Dreien (oder Neunen oder was auch immer)! Und die Zahl wäre dann (per Definition) nicht periodisch.

Damit da eine andere Zahl nach den Dreien (oNowai) kommen kann, muss die Anzahl der Dreien (oNowai) endlich sein.

old Re: 1 = 0,999...?

Flying Lizard
User Off Offline

Quote
Du bist unmöglich, mit dir kann man über sowas nicht diskutieren weil du Gedankenkonstrukte nicht verstehen willst

Ich bin der Meinung dass wenn man etwas durch 3 Teilt das ursprüngliche wieder rauskommen muss wenn man es mal 3 nimmt.
Ihr glaubt dass wenn man etwas periodisches hat und das mal einer Zahl nimmt, jede einzelne Stelle des periodischen für sich mal der Zahl nehmen muss und daher nicht das urprüngliche rauskommt.

Ich sehe keinen Weg wie wir uns da einigen können,d aher bin ich dafür dass jeder davon überzeugt ist dass er selbst recht hat und wir die Beruflichen Fachdeppen darüber diskutieren lassen. Was halted ihr von der idee?

old Re: 1 = 0,999...?

jeepohahyo
User Off Offline

Quote
Flying Lizard has written
Du bist unmöglich, mit dir kann man über sowas nicht diskutieren weil du Gedankenkonstrukte nicht verstehen willst

Du machst mir die ganze Zeit Vorwürfe über mein logisches Verständnis, und das finde ich nicht so toll.

Quote
Ich bin der Meinung dass wenn man etwas durch 3 Teilt das ursprüngliche wieder rauskommen muss wenn man es mal 3 nimmt.

Grundlegende Algebra, way to go

Quote
Ihr glaubt dass wenn man etwas periodisches hat und das mal einer Zahl nimmt, jede einzelne Stelle des periodischen für sich mal der Zahl nehmen muss und daher nicht das urprüngliche rauskommt.

Wir glauben nicht, dass "nicht das ursprüngliche rauskommt", wir sehen halt ein, dass genau daraus, dass durch diese Umformung nichts unterschiedliches rauskommen kann, und dass die Umformungen korrekt sind. Darum müssen 0,999... und 1 logisch zwingend gleich sein, genauso wie 0,333... = 1/3 sein muss.

Quote
Ich sehe keinen Weg wie wir uns da einigen können,d aher bin ich dafür dass jeder davon überzeugt ist dass er selbst recht hat und wir die Beruflichen Fachdeppen darüber diskutieren lassen. Was halted ihr von der idee?

Wenn du keine Lust hast, das zu diskutieren, dann lass es doch. Ich möchte nur, dass die Leute im Forum die mathematisch korrekte und anerkannte Formulierung der Periodizität und Unendlichkeit richtig verstehen, weil das alles in der Oberstufe wirklich nicht unwichtig ist.

old Re: 1 = 0,999...?

Flying Lizard
User Off Offline

Quote
Dich zu beschuldigen war nicht richtig das stimmt. Tut mir Leid.

Es kann natürlich auch sein dass ich falsch liege, dagegen sag ich ja nichts. Nur dass ich eben auch der Meinung bin die korrekte Lösung verbreiten zu müssen (klingt irgendwie bescheuert) und daher will ich dir nicht unbedingt das Feld überlassen. Die Sache mit dem Mathematisch anerkannt ist zwar ein gutes Argument, schlägt aber auch nicht alles da bei sehr vielen Wissenschaften teilweise das anerkannt ist von den Leuten die am lautesten Schreien. Und wenn du mich frägst ist dashier ein Punkt bei dem man sich schwer tut einen 100% eindeutigen und unwiederlegbaren Beweis zu bringen der nicht angefochten werden kann.

old Re: 1 = 0,999...?

humer
User Off Offline

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Naja ich habs für meinen MatheLK nicht gebraucht aber zu Lizard es ist einfach so definiert. Genauso wie du in der Mathematik nicht durch 0 teilen darfst, oder aus negativen Zahlen ne wurzel ziehen kannst, wobei das noch ne andere geschichte ist. Es ist kein Naturgesetz, dass uns vorgeschrieben wird, es ist einfach so definiert, weil man es nicht 100%ig sagen kann. Als die mathematiker sich das erste mal darüber gedanken gemacht haben, haben sie durch die erkenntnisse, die sie gefunden haben, diese tatsache postuliert. Jeder kann es sehen wie er will, aber ich halte mich doch lieber an die Mathematik.

old Re: 1 = 0,999...?

jeepohahyo
User Off Offline

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Also algebraisch ist mein Beweis nun doch wasserfest. Da gibst du mir sogar indirekt Recht

Also nochmal zusammengefasst aus meinem Beweis:
x = 1 <=> x = 0,999...

Quote
Zu deiner (1.) Rechnung:
Ich denke der Fehler liegt in diesen beiden Zeilen.

10x = 9,999... | -x
9x = 9,999...

Wenn x=0.999... dann würde man unten 9 erhalten, wenn x=1 dann 8,999...

Du willst meinen Beweis durch Widerspruch widerlegen. Allerdings nimmst du zunächst den Beweis an (indem du zuerst x=0,999...=1 sagst, wenn du zum Testen einsetzt) und am Schluss (bei der Auswertung) bist du wieder dagegen, dass bei 8,999... (ausgeschrieben 8 + 0,999...) dieses immer noch gilt.
Darum stimmt die mathematische Argumentation gegen den Beweis nicht so richtig.

Quote
Naja ich habs für meinen MatheLK nicht gebraucht

Nuja, ich finde, dass die infinitesimalen Abstände, die man zur Definition der Ableitung und des Integrals brauch ja irgendwie doch das selbe Problem sind.
Und wenn man das hier verstanden hat, dann hat man wohl auch kein Problem mehr mit den Unterschieden von "gegen 0" und "gleich 0" usw usf.
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